$AB=BC=2a$ হলে, $AB\sqrt{2}=10\sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{AB}{2}=a=5cm=0.05m$

B বিন্দুতে চৌম্বকক্ষত্রে $$\begin{gathered} =\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi a}-\frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi a}=\frac{\mu }{2\pi a}(I_1-I_2) \\ =\frac{4\pi \times {10}^{-7}}{2\times \pi \times 0.05}(5-3)T \end{gathered}$$

$= 8\times {10}^{-6}T$ (কাগজের তলের লম্ব বরাবর উপরের দিকে)

অনুরূপভাবে, D বিন্দুতে চৌম্বকক্ষেত্র $= 8\times {10}^{-6}T$ (কাগজের তলের লম্ব বরাবর নিচের দিকে) 

mg = qE

$\Rightarrow 3\times {10}^{-16}\times 9.8=10\times 1.6\times {10}^{-19}\times E$

অতএব, E = 1837.5 NC^-1

$\Rightarrow V=Ed=(1837.5\times 5\times {10}^{-3})V=9.1875$

$\epsilon =-\frac{d\phi }{dt}=-(9t^2+8t+2)V;at t=4sec, \epsilon =-178V$

$Again, \epsilon =IR\Rightarrow \frac{\epsilon }{R}=\frac{178}{5}A=35.6 A$

$\frac{dN}{dt}=\lambda N$

$\Rightarrow 8.6\times {10}^{-6}\times 3.7\times {10}^{10}=\frac{In 2}{3\times 3600}N [1Ci=3.7\times {10}^{10}Bq]$

অতএব, $N=4.958\times {10}^9$ টি 

এখানে, $\mathrm{m}=(60+25)=85 \mathrm{kg}$

$\sin \mathrm{\theta }=\frac{\mathrm{h}}{5}\Rightarrow \mathrm{h}=5 sin {30}^{\circ }$

$\mathrm{t}=10 sec$

আমরা জানি, $P=\frac{mgh}{t}$

$=\frac{85\times 9.8\times 5 sin {30}^{\circ }}{10}$

$=208.25 W$

$=0.279 HP\left(Ans\right)$

আমরা জানি, ভূ-পৃষ্ট থেকে নিচে কোনো বিন্দুতে কোনো বস্তুর ত্বরণ তথা অভিকর্ষজ ত্বরণ, $\mathrm{a}=\mathrm{g}=\frac{4}{3}G\pi \left(R\mathit{-}h\right)\rho$

এখানে, R=পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, h=ভূ-পৃষ্ঠ থেকে ঐ বিন্দুর গভীরতা এবং  $\rho$=পৃথিবীর গড় ঘনত্ব। $\left(R-h\right)$ হচ্ছে পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে ঐ বিন্দুর দূরত্ব। একে  দ্বারা প্রকাশ করলে আমরা পাই, $a=-\frac{4}{3}G\pi x\rho$

ত্বরণ পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে সরণের বিপরীতমুখী হওয়ার চিহ্ন ঋণাত্মক হয়েছে। বস্তুর ভর m হলে এর ওপর ক্রিয়াশীল বল, 

$F=ma=-\frac{4}{3}G\pi x\rho =-kx$[এখানে,  $\frac{4}{3}G\pi m\rho =k$=ধ্রুব সংখ্যা]

$\therefore a=-\frac{k}{m}x=-{\omega }^{2}x$

এটি সরল ছন্দিত স্পন্দনের সমীকরণ। সুতরাং পৃথিবীর যেকোনো ব্যাস বরাবর সুড়ঙ্গ পথে বস্তুর গতি সরল ছন্দিত স্পন্দন গতি। এর পর্যায়কাল,

$T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{4}{3}G\pi m\rho }}=\sqrt{\frac{3\pi }{G\rho }} \left(Ans\right)$

এখানে, ${\mathrm{T}}_1={27}^{\circ }\mathrm{C}=\left(27+273\right)\mathrm{K}=300\mathrm{K}$

প্রাথমিক গড় বেগ=${\mathrm{c}}_1$

চূড়ান্ত গড় বেগ, ${\mathrm{c}}_2=2{\mathrm{c}}_1$

আমরা জানি, $\frac{{\mathrm{c}}_2}{{\mathrm{c}}_1}=\sqrt{\frac{{\mathrm{T}}_2}{3000}}$

$\Rightarrow \frac{2{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_1}=\sqrt{\frac{{\mathrm{T}}_2}{3000}}$

$\Rightarrow 2=\sqrt{\frac{{\mathrm{T}}_2}{300}}$

$\Rightarrow 4=\frac{{\mathrm{T}}_2}{300}$

$\therefore {\mathrm{T}}_2=\left(4\times 300\right)=1200\mathrm{k}$

এখানে, ${\mathrm{W}}_0=3.45 \mathrm{eV}=\left(3.45\times 1.6\times {10}^{-19}\right)\mathrm{J}$

আমরা জানি, ${\mathrm{W}}_0={\mathrm{hf}}_0$

$\Rightarrow {\mathrm{W}}_0=\mathrm{h}\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{\lambda }}_0}\Rightarrow {\mathrm{\lambda }}_0=\frac{\mathrm{hc}}{{\mathrm{W}}_0}$

$=\frac{6.63\times {10}^{-34}\times 3\times {10}^8}{3.45\times 1.6\times {10}^{-19}}\mathrm{m}=3.6\times {10}^{-7}\mathrm{m} \left(\mathrm{Ans}\right)$

${100}^{\circ }\mathrm{C}$ তাপমাত্রায় জলীয় বাষ্প হতে ${100}^{\circ }\mathrm{C}$ তাপমাত্রায় পানিতে পরিণত হতে বর্জিত তাপ

${\mathrm{Q}}_1={\mathrm{ml}}_{\mathrm{v}}=\left(0.02\times 2268000\right)\mathrm{J}=45360\mathrm{J}$

${100}^{\circ }\mathrm{C}$ পানি হতে $0^{\circ }\mathrm{C}$ তাপমাত্রার পানি হতে বর্জিত তাপ

${\mathrm{Q}}_2=\mathrm{ms}△\mathrm{\theta }=0.02\times 4200\times \left(100-0\right)=8400 \mathrm{J}$

$0^{\circ }\mathrm{C}$ তাপমাত্রার পানি হতে $0^{\circ }\mathrm{C}$ তাপমাত্রার বরফ হতে বর্জিত তাপ

${\mathrm{Q}}_3={\mathrm{ml}}_{\mathrm{s}}=\left(0.02\times 336000\right)\mathrm{J}=6720\mathrm{J}$

$0^{\circ }\mathrm{C}$ তাপমাত্রার বরফ হতে $-{10}^{\circ }\mathrm{C}$ তাপমাত্রার বরফ হতে বর্জিত তাপ

${\mathrm{Q}}_4=\mathrm{ms}△\mathrm{\theta }=0.02\times 2100\times \left(0+10\right)=420\mathrm{J}$

$\therefore$মোট বর্জিত তাপ $\mathrm{Q}={\mathrm{Q}}_1+{\mathrm{Q}}_2+{\mathrm{Q}}_3+{\mathrm{Q}}_4$

$=\left(45360+8400+6720+420\right)\mathrm{J}$

$=60900\mathrm{J}$

এখানে,

সোনার আয়তন, $\mathrm{v}=0.1 \mathrm{mm}\times 20 {\mathrm{cm}}^2$

$=0.1\times {10}^{-3}\times 20\times {10}^{-4}$

$=2\times {10}^{-7} {\mathrm{m}}^3$

$\mathrm{I}=0.5 \mathrm{A}$

$\mathrm{\rho }=19\times {10}^3 {\mathrm{kgm}}^{-3}$

$\mathrm{Z}=6.38\times {10}^{-7} {\mathrm{kgC}}^{-1}$

W= সঞ্চিত স্বর্ণের ভর

t=?

আমরা জানি, $\mathrm{W}=\mathrm{ZIt}$

$\Rightarrow \mathrm{\rho }\mathrm{v}=\mathrm{ZIt}\left[\mathrm{\rho }=\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{V}}\right]$

$\Rightarrow \mathrm{t}=\frac{\mathrm{\rho }\mathrm{V}}{\mathrm{ZI}}$

$=\frac{19\times {10}^3\times 2\times {10}^{-7}}{6.38\times {10}^{-7}\times 0.5}$

$=11912.225 sec$

$=3.308 \mathrm{hour}$

এখানে,

অভ্যন্তরীণ রোধ=r

$\mathrm{V}=500 \mathrm{mV}=500\times {10}^{-3}\mathrm{V}$

$\mathrm{I}=10 \mathrm{mA}=10\times {10}^{-3} \mathrm{A}$

আমরা জানি, $V=Ir$

$\Rightarrow r=\frac{V}{I}=\frac{500\times {10}^{-3}}{10\times {10}^{-3}}$

$\therefore r=50\Omega$

(i) অ্যামিটারের ক্ষেত্রে, $n=\frac{I^{\text{'}}}{I}=\frac{20}{10\times {10}^{-3}}=2000$

$\therefore$ সান্ট $s=\frac{r}{n-1}=\frac{50}{2000-1}=0.025 \Omega \left(Ans\right)$

(ii) ভোল্টমিটারের ক্ষেত্রে, $n=\frac{V^{\text{'}}}{V}=\frac{440}{500\times {10}^{-3}}=880$

$\therefore$ শ্রেণিতে সংযুক্ত প্রয়োজনীয় রোধ

$R=\left(n-1\right)r=\left(880-1\right)\times 50=43950 \Omega \left(Ans\right)$

এখানে, 

${\mathrm{E}}_{\mathrm{p}}=200 \mathrm{V}$

${\mathrm{E}}_{\mathrm{s}}=2000 \mathrm{V}$

${\mathrm{N}}_{\mathrm{p}}=300$

${\mathrm{R}}_{\mathrm{p}}=0.5\mathrm{\Omega }$

${\mathrm{N}}_{\mathrm{s}}=?$

${\mathrm{R}}_{\mathrm{s}}=?$

আমরা জানি, 

$\frac{E_p}{E_s}=\frac{N_p}{N_s}\Rightarrow \frac{20}{2000}=\frac{300}{N_s}\Rightarrow N_s=3000 \left(Ans.\right)$

আবার, $\frac{{E_p}^2}{{E_s}^2}=\frac{R_p}{R_s}\Rightarrow \frac{{\left(200\right)}^2}{{\left(2000\right)}^2}=\frac{0.5}{R_s}$

$\Rightarrow R_s=50\Omega \left(Ans.\right)$

i=আপতন কোণ

r=প্রতিফলন কোণ

R=প্রতিসরণ কোণ

এখানে, $\mathrm{i}=\mathrm{r}$

চিত্র হতে, $\mathrm{R}+90+\mathrm{r}=180$

$\Rightarrow \mathrm{R}=90-\mathrm{r}=90-\mathrm{i}$

স্নেলের সূত্রানুযায়ী, $\mathrm{\mu }=\frac{\sin \mathrm{i}}{\sin \mathrm{R}}$

$\Rightarrow 1.62=\frac{\sin \mathrm{i}}{\sin \left(90-\mathrm{i}\right)}$

$\Rightarrow 1.62=\frac{\sin \mathrm{i}}{\cos \mathrm{i}}$

$\Rightarrow 1.62=tan\mathrm{i}$

$\therefore \mathrm{i}={58.31}^{\circ } \left(\mathrm{Ans}\right)$

বিমানের বেগ, $\mathrm{v}=288 {\mathrm{kmh}}^{-1}=80 {\mathrm{ms}}^{-1}$

শব্দের বেগ, ${\mathrm{v}}_{\mathrm{s}}=350 {\mathrm{ms}}^{-1}$

t=বুলেট ভূমিতে পতনের সময় + শব্দ বিমানে পৌছানোর সময়

$\Rightarrow \mathrm{t}={\mathrm{t}}_1+{\mathrm{t}}_2=3 sec$

বিমানের ক্ষেত্রে, 

$\mathrm{h}=\left({\mathrm{v}}_0\sin {90}^{\circ }\right){\mathrm{t}}_1+\frac{1}{2}{{\mathrm{gt}}_1}^2$

$\Rightarrow \mathrm{h}=80{\mathrm{t}}_1+4.9{{\mathrm{t}}_1}^2......\left(\mathrm{i}\right)$

শব্দের ক্ষেত্রে,

$\mathrm{h}={\mathrm{v}}_{\mathrm{s}}{\mathrm{t}}_2=350{\mathrm{t}}_2=350\left(3-{\mathrm{t}}_1\right)=\left(1050-350{\mathrm{t}}_1\right)......\left(\mathrm{ii}\right)$

$\therefore 80{\mathrm{t}}_1+4.9{{\mathrm{t}}_1}^2=1050-350{\mathrm{t}}_1$

$\Rightarrow 4.9{{\mathrm{t}}_1}^2+430{\mathrm{t}}_1-1050=0$

$\Rightarrow {\mathrm{t}}_1=2.377 sec$

$\therefore \left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow \mathrm{h}=1050-350\times 2.377=218.05\mathrm{m}\left(\mathrm{Ans}\right)$

যেহেতু উপরে নিক্ষিপ্ত বস্তুর আদিবেগ দেয়া নাই। সুতরাং অংকটি করা সম্ভব নয়। Ans.

${\mathrm{p}}^{\text{'}}=\mathrm{\eta }\mathrm{p}=\frac{82.2}{100}\times 60\times {10}^3 \mathrm{W}=49320 \mathrm{W}$

$\mathrm{again}, \mathrm{p}=\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{mgh}}{\mathrm{t}} \Rightarrow \mathrm{m}=\frac{\mathrm{pt}}{\mathrm{gh}}=\frac{49320\times 60}{9.8\times 20}$

$=15097.96 \mathrm{kg}=15097.96 \mathrm{L} \mathrm{Ans}.$

গাড়ি ও ব্যক্তির মোট ভর = (1950+50) =2000kg.

যাত্রা শুরুর 4s পর গাড়ির বেগ = 8 ms^-1

এখন, v = v_o + at  $\Rightarrow$8=0+a x 4     $\therefore \mathrm{a}$= 2ms^-2

$\therefore$প্রথম 10s এ অতিক্রান্ত দূরত্ব,

${\mathrm{s}}_1={\mathrm{v}}_0\mathrm{t}+\frac{1}{2}{\mathrm{at}}^2=0\times 10+\frac{1}{2}\times 2\times {10}^2 \mathrm{m}=100 \mathrm{m}$

$\therefore$10s পর বেগ, ${\mathrm{v}}_{10}=0+2\times 10=20 {\mathrm{ms}}^{-1}$

$\therefore$ 10 min সমবেগে চলাকালীন সময় অতিক্রান্ত দূরত্ব,

${\mathrm{s}}_2=20\times 10\times 60\mathrm{m}=12000 \mathrm{m}$

1s এ গাড়ি থামানোর ক্ষেত্রে, $0=20-\mathrm{a}\times 1$

$\therefore \mathrm{a}=20 {\mathrm{ms}}^{-2}$

$\therefore$ 1s এ অতিক্রান্ত দূরত্ব, ${\mathrm{s}}_3=20\times 1-\frac{1}{2}\times 20\times 1^2=10\mathrm{m}$

$\therefore$ মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব$={\mathrm{s}}_1+{\mathrm{s}}_2+{\mathrm{s}}_3=100+12000+10=12110\mathrm{m} \mathrm{Ans}.$

এবং গাড়ি থামাতে প্রযুক্ত বল, $\mathrm{F}=\mathrm{ma}=2000\times 20=40000\mathrm{N} \mathrm{Ans}.$

$\mathrm{T}=2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}}.....\left(\mathrm{i}\right)$

${\mathrm{T}}^{\text{'}}=2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{L}}{{\mathrm{g}}^{\text{'}}}}=2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}+\frac{\mathrm{g}}{4}}}=2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{4\mathrm{L}}{5\mathrm{g}}}.....\left(\mathrm{ii}\right)$

$\left(\mathrm{ii}\right)÷\left(\mathrm{i}\right)$ হতে পাই,$\frac{{\mathrm{T}}^{\text{'}}}{\mathrm{T}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow {\mathrm{T}}^{\text{'}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\mathrm{T}$

$\therefore$দোলকের দোলনকাল $\frac{2}{\sqrt{5}}$ গুণ হবে। 

$C_p-C_v=R and \frac{C_p}{C_v}=1.4 \therefore C_p=1.4 C_v$

$\Rightarrow 1.4 C_v-C_v=R \Rightarrow 0.4 C_v=8.316$

$\therefore C_v=20.79 Jmo{l}^{-1}{K}^{-1}$

$\therefore C_p=1.4\times 20.79=29.106 Jmo{l}^{-1}{K}^{-1} Ans.$

0.02 kg বরফ সম্পূর্ণ গলতে প্রয়োজনীয় তাপ, H₁ = ml_f=0.02 x 3.36 x 10⁵ J = 6720 J এবং 50°C তাপমাত্রার 0.03 kg পানি 0°C এ নামতে প্রয়োজনীয় তাপ,

H₂ =0.03 x 4200 x 50 J =6300 J

$\therefore$H₁ > H₂, সুতরাং সব বরফ গলবে না।

$\therefore$মিশ্রণের সর্বনিম্ন তাপমাত্রা 0°C Ans.

$\therefore$গলিত বরফের পরিমাণ $=\frac{{\mathrm{H}}_2}{{\mathrm{H}}_1}\times 0.02=\frac{6300}{6720}\times 0.02=0.01875 \mathrm{kg}$

$\therefore$মিশ্রণে বরফের পরিমাণ = 0.02-0.01875 kg = 0.00125 kg  Ans.

$\therefore$মিশ্রণে পানির পরিমাণ = 0.03 +0.01875 =0.04875 kg  Ans.