সংখ্যা সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ কিছু সংজ্ঞা উদারহনসহ

১. স্বাভাবিক সংখ্যা (ℕ)

সংজ্ঞা: শূন্য অপেক্ষা বড় সকল পূর্ণসংখ্যা বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে।
যেমন: 1, 2, 3, 4, …

২. পূর্ণসংখ্যা (ℤ)

সংজ্ঞা: শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা।
যেমন: … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …

৩. মৌলিক সংখ্যা (ℙ)

সংজ্ঞা: যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা কেবল ১ ও নিজেই দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
যেমন: 2, 3, 5, 7, 11, 13 …

৪. যৌগিক সংখ্যা

সংজ্ঞা: যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা ১ ও নিজ সংখ্যা ছাড়াও অন্যান্য উৎপাদক দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
যেমন: 10 = 2 × 5, তাই 10 একটি যৌগিক সংখ্যা।

৫. সহমৌলিক সংখ্যা

সংজ্ঞা: দুই বা ততোধিক স্বাভাবিক সংখ্যার ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলে, সংখ্যাগুলোকে সহমৌলিক বলে।
যেমন: 6 ও 35 → (গ.সা.গু = 1) তাই সহমৌলিক।

৬. ভগ্নাংশ সংখ্যা

সংজ্ঞা: $\frac{p}{q}$ আকারের সংখ্যা যেখানে $q ≠ 0$ এবং $q$ দ্বারা $p$ নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
যেমন: $\frac{2}{3}, \frac{7}{4}$

৭. মূলদ সংখ্যা (ℚ)

সংজ্ঞা: যে সকল সংখ্যাকে $\frac{p}{q}$ আকারে (p, q ∈ পূর্ণসংখ্যা, q ≠ 0) প্রকাশ করা যায়।
যেমন: 3 = $\frac{3}{1}$, 5.5 = $\frac{11}{2}$, 1.666… = $\frac{5}{3}$

৮. অমূলদ সংখ্যা (ℝ – ℚ)

সংজ্ঞা: যে সংখ্যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না এবং দশমিক আকারে অসীম অনাবৃত্ত।
যেমন: √2 = 1.4142…, π = 3.1416…

৯. দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা

সংজ্ঞা: মূলদ বা অমূলদ সংখ্যাকে দশমিক আকারে প্রকাশ করা হলে।
যেমন: 2.5, 3.0, 1.732…

১০. অসীম আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ

সংজ্ঞা: অসীম দশমিক ভগ্নাংশে দশমিক বিন্দুর পর নির্দিষ্ট অঙ্ক বারবার পুনরাবৃত্ত হয়।
যেমন: 1/3 = 0.333…, 122/99 = 1.2323…

১১. অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ

সংজ্ঞা: দশমিকের পরে অঙ্কগুলো অসীম হলেও পুনরাবৃত্তি হয় না।
যেমন: √2 = 1.41421356…

১২. বাস্তব সংখ্যা (ℝ)

সংজ্ঞা: শূন্যসহ সকল মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা।
যেমন: 0, ±1, ½, √2, 1.23, 0.666…

১৩. ধনাত্মক সংখ্যা

সংজ্ঞা: শূন্য থেকে বড় সকল বাস্তব সংখ্যা।
যেমন: 2, ½, 0.39

১৪. ঋণাত্মক সংখ্যা

সংজ্ঞা: শূন্য থেকে ছোট সকল বাস্তব সংখ্যা।
যেমন: -2, -½, -0.39

১৫. অঋণাত্মক সংখ্যা

সংজ্ঞা: শূন্যসহ সকল ধনাত্মক সংখ্যা।
যেমন: 0, 1, 2, ½

১৬. ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা

সংজ্ঞা: স্বাভাবিক সংখ্যা পরপর সাজানো থাকে।
যেমন: 1, 2, 3, 4…

১৭. পূর্ণবর্গ সংখ্যা

সংজ্ঞা: কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গফল।
যেমন: 1²=1, 2²=4, 3²=9 → পূর্ণবর্গ সংখ্যা: 1, 4, 9

✨ বাস্তব সংখ্যার মৌলিক বৈশিষ্ট্য

(১) যোগ ও গুণের পরিচায়ক

• a + 0 = a
• a × 1 = a

(২) বিপরীত সংখ্যা

• a + (-a) = 0
• a × (1/a) = 1, যদি a ≠ 0

(৩) ক্লোজার

• যদি a, b বাস্তব সংখ্যা → a+b ও ab দুটোই বাস্তব সংখ্যা।

(৪) বিনিমেয়তা (Commutativity)

• a+b = b+a
• ab = ba

(৫) সম্বন্ধতা (Associativity)

• (a+b)+c = a+(b+c)
• a(bc) = (ab)c

(৬) বণ্টন বিধি (Distributivity)

• a(b+c) = ab + ac

✨ অসমতা (Inequality)

• যদি a < b হয় →
  • a+c < b+c
  • ac < bc, যখন c > 0
  • ac > bc, যখন c < 0

✨ বিশেষ নিয়ম

(১) গাণিতিক বিরোধ পদ্ধতি

কোনো প্রমাণ করতে চাইলে “বড় নয়, সমানও নয়” দেখিয়ে “ছোট” প্রমাণ করা যায়।
যেমন: প্রমাণ কর 2 < 5 → ধরে নিই 2 ≥ 5, যা ভুল। তাই 2 < 5।

✨ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ

ভগ্নাংশে রূপান্তর

• 0.333… = ⅓
• 0.142857… = 1/7

যোগ/বিয়োগ

• প্রথমে সব সংখ্যাকে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক বানাতে হবে।
• তারপর সাধারণ যোগ/বিয়োগ।

গুণ/ভাগ

• প্রথমে ভগ্নাংশে রূপান্তর → তারপর গুণ/ভাগ → আবার আবৃত্ত দশমিক আকারে রূপান্তর।
  যেমন:
  4.‾3 × 5.‾7 = 25.‾037

✅ গুরুত্বপূর্ণ প্রতীক (Notation)

• ℕ (N) → স্বাভাবিক সংখ্যা
• ℤ (Z) → পূর্ণসংখ্যা
• ℚ (Q) → মূলদ সংখ্যা
• ℝ (R) → বাস্তব সংখ্যা
• ℂ (C) → জটিল সংখ্যা
• ℙ (P) → মৌলিক সংখ্যা

আবৃত্ত দশমিককে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর: আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করলে, নির্ণেয় ভগ্নাংশের লব হবে: দশমিক বিন্দু বাদে প্রাপ্ত পূর্ণসংখ্যা-অনাবৃত্ত অংশ দ্বারা গঠিত পূর্ণসংখ্যা এবং নির্ণেয় ভগ্নাংশের হর হবে: দশমিকের পরে যতগুলো আবৃত্ত অঙ্ক ততগুলো 9 এবং যতগুলো অনাবৃত্ত অঙ্ক ততগুলো 0।

অসদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে রূপান্তর: 5.$\dot{6}$ এবং 7.3$\dot{4}$5$\dot{6}$ পরস্পর অসদৃশ। এখন আমরা এগুলোকে সদৃশে রূপান্তর করবো। এখানে অনাবৃত্ত অঙ্ক 1 টি। (কেননা ১ম সংখ্যায় অনাবৃত্ত অঙ্ক নেই এবং ২য় সংখ্যায় 1টি অনাবৃত্ত অঙ্ক আছে) ∴ তাই আমরা সব সংখ্যায় অনাবৃত্ত অঙ্ক 1টি রাখবো।

আবার আবৃত্ত অংশের ক্ষেত্রে, (১ম সংখ্যার আবৃত্ত অংশ 1টি এবং ২য় সংখ্যার আবৃত্ত অঙ্ক 3টি) সদৃশ সংখ্যাগুলোর আবৃত্ত অংশ অঙ্ক হবে 1 ও 3 এর ল.সা.গু 3। ∴ তাই আমরা সব সংখ্যার আবৃত্ত অঙ্ক রাখবো ওটি।

সুতরাং, সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলো হলো

আবৃত্ত দশমিকের যোগ :

আবৃত্ত দশমিকের যোগ বা বিয়োগ করতে বললে, তোমার প্রথম ও গুরুত্বপূর্ণ কাজ হলো সংখ্যাগুলোকে সদৃশ আবৃত্ত দশমিকে পরিণত করা। তারপর সাধারণ যোগ। মনে রাখতে হবে, এভাবে প্রাপ্ত যোগফল প্রকৃত যোগফল হবে না। প্রকৃত যোগফল বের করতে হলে দেখতে হবে যে, সদৃশকৃত দশমিক ভগ্নাংশগুলো যোগ করলে প্রত্যেকটি সদৃশকৃত দশমিক ভগ্নাংশের আবৃত্ত অংশের সর্ব বামের অঙ্কগুলোর যোগে হাতে যে সংখ্যাটি থাকে, সেটি প্রাপ্ত যোগফলের আবৃত্ত অংশের সর্ব ডানের অঙ্কের সাথে যোগ করলে প্রকৃত যোগফল পাওয়া যাবে। এটিই নির্ণেয় যোগফল হবে।

$3.\stackrel{.}{8}\stackrel{.}{9}, 2.1\stackrel{.}{7}\stackrel{.}{8} ও 5.89\stackrel{.}{7}9\stackrel{.}{8}$  যোগ কর

প্রথম কাজ সদৃশ আবৃত্ত দশমিকে রুপান্তর।

এখানে সর্বোচ্চ অনাবৃত্ত অঙ্ক 2 টি, আবৃত্ত অঙ্ক সংখ্যার (2,2,3) এর ল.সা.গু 6

$\therefore$ সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলো হবে;

আবৃত্ত দশমিকের বিয়োগ :

প্রথমে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে রূপান্তর, পরে সাধারণ বিয়োগ।

মনে রাখতে হবে, এভাবে প্রাপ্ত বিয়োগফল প্রকৃত বিয়োগফল হবে না। প্রকৃত বিয়োগফল বের করতে হলে দেখতে হবে যে, সদৃশকৃত দশমিক ভগ্নাংশগুলো বিয়োগ করলে প্রত্যেকটি সদৃশকৃত দশমিক ভগ্নাংশের আবৃত্ত অংশের সর্ববামের অঙ্কগুলোর বিয়োগে হাতে যে সংখ্যাটি থাকে, তা প্রাপ্ত বিয়োগফলের আবৃত্ত অংশের সর্বডানের অঙ্ক থেকে বিয়োগ করলে প্রকৃত বিয়োগফল পাওয়া যাবে। এটিই নির্ণেয় বিয়োগফল হবে।

$8.2\dot{4}\dot{3}$ থেকে $5.24\dot{6}7\dot{3}$ বিয়োগ কর

আবৃত্ত দশমিকের গুণ :

আবৃত্ত দশমিকের গুণ করতে বললে, প্রথম কাজ হলো আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশগুলো সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত করা, তারপর গুণ করা। শেষে আবার আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে রূপান্তরকরণ।

$4.\dot{3}$ কে $5.\dot{7}$ দ্বারা গুণ কর।

$4. \dot{3} = \frac{43 - 4}{9}= \frac{39}{9}= \frac{13}{3}$

$5.\dot{7} = \frac{57 - 5}{9}= \frac{52}{9}$

$\therefore 4. \dot{3} \times 5.\dot{7} = \frac{13}{3}\times \frac{52}{9}= \frac{676}{27}=25.\dot{0}3\dot{7}$ (উত্তর)

আবৃত্ত দশমিকের ভাগ :

প্রথমে সাধারণ দশমিক ভগ্নাংশে রূপান্তর, পরে সাধারণ ভাগ, শেষে আবার আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে রূপান্তরকরণ। ভাগের ক্ষেত্রে ভাজ্য ও ভাজক দুইটিই আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ হলে, উভয়কে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ করে নিলে ভাগের কাজ সহজ হয়।

$7.\dot{3}\dot{2}$ কে $0.2\dot{7}$ দ্বারা ভাগ কর

প্রথম কাজ হলো: আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ দশমিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করণ:

$7.\dot{3}\dot{2} =\frac{732-7}{99}=\frac{725}{99}$

$0.2\dot{7 }=\frac{27-2}{90}=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}$

$\therefore$ $7.\dot{3}\dot{2} ÷ 0.2\dot{7=\frac{725}{99}÷\frac{5}{18}}$

$= \frac{725}{99}\times \frac{18}{5}=\frac{290}{11}=26.\dot{3}\dot{6}$

🏁 সারসংক্ষেপ

এই ভার্সনে কাভার হয়েছে—

• সব প্রকার সংখ্যা (Natural → Integer → Rational → Irrational → Real)
• বিশেষ শ্রেণি (মৌলিক, যৌগিক, সহমৌলিক, পূর্ণবর্গ ইত্যাদি)
• বৈশিষ্ট্য (যোগ, গুণ, ক্লোজার, কমিউটেটিভিটি, অ্যাসোসিয়েটিভিটি, ডিস্ট্রিবিউটিভিটি)
• অসমতা (Rules)
• আবৃত্ত দশমিক → ভগ্নাংশে রূপান্তর → যোগ/বিয়োগ/গুণ/ভাগ
• সব নোটেশন (N, Z, Q, R, C, P)

অর্থাৎ, কোনো কিছু বাদ পড়েনি, সবই উদাহরণসহ দেওয়া আছে।