একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
(দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে)
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90°
অঙ্কন : BC কে D পর্যন্ত বর্ধিত করি, যেন CD = AB = c হয়।
D বিন্দুতে বর্ধিত BC এর উপর DE লম্ব আঁকি, যেন DE = BC = a হয়। C, E ও A, E যোগ করি।
প্ৰমাণ :
| ধাপ | যথার্থতা |
|---|---|
(১) ∠ABC ও ACDE এ AB = CD = c, BC = DE = a এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ABC = অন্তর্ভুক্ত ∠CDE সুতরাং, ∆ABC ≅ ∆CDE ∴ AC = CE = b এবং ∠BAC = ∠ECD (২) আবার, AB ⊥ BD এবং ED ⊥ BD বলে AB || ED সুতরাং, ABDE একটি ট্রাপিজিয়াম। (৩) তদুপরি, ∠ACB + ∠BAC = ∠ACB + ∠ECD = এক সমকোণ। ∴ ∠ACE = এক সমকোণ। ∴ ∆ACE সমকোণী ত্রিভুজ। এখন ABDE ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( ∆ ক্ষেত্র ABC + ∆ ক্ষেত্র CDE + ∆ ক্ষেত্র ACE) বা, বা, বা, (a + c) (a + c) = 2ac + b2 [2 দ্বারা গুণ করে] বা, a2 + 2ac + c2 = 2ac + b2 ∴ b2 = c2 + a2 (প্রমাণিত) | [প্রত্যেকে সমকোণ]
[বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
∴ ∠BAC = ∠ECD
[ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল x সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব]
|
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিকল্প প্রমাণ
(সদৃশকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে)
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ZC = 90° এবং অতিভুজ AB = C, BC = a, AC = b প্রমাণ করতে হবে যে, AB2 = AC2 + BC2
অর্থাৎ c2 = a2 + b2
অঙ্কন : C বিন্দু থেকে অতিভুজ AB এর উপর লম্ব CH অঙ্কন করি। AB অতিভুজ H বিন্দুতে d ও e অংশে বিভক্ত হলো।
প্ৰমাণ :
| ধাপ | যথার্থতা |
|---|---|
∆ВСН ও ∆АВС এ ∠BHC = ∠ACB এবং ∠CBH = ∠ABC (১) ∴ ∆CBH ও ∆ABC সদৃশ। ∴ ∴ … …(1) (২) অনুরূপভাবে ∆ACH ও ∆ABC সদৃশ৷ ∴ … … (2) (৩) অনুপাত দুইটি থেকে পাই, a2 = c × e, b2 = c × d অতএব, a2 + b2 = c × e + c × d = c (e + d) = c × e = c2 ∴ c 2 = a2 + b2 [প্রমাণিত] | প্রত্যেকেই সমকোণ সাধারণ কোণ
[(i) উভয় ত্রিভুজ সমকোণী (ii) ZA কোণ সাধারণ]
∵ c = e + d |
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিকল্প প্রমাণ
(বীজগণিতের সাহায্যে)
পিথাগোরাসের উপপাদ্য বীজগণিতের সাহায্যে সহজেই প্রমাণ করা যায়।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের
অতিভুজ c এবং a, b যথাক্রমে অন্য দুই বাহু।
প্রমাণ করতে হবে, c2 = a2 + b2
অঙ্কন : প্রদত্ত ত্রিভুজটির সমান করে চারটি ত্রিভুজ চিত্রে প্রদর্শিত উপায়ে আঁকি।
প্ৰমাণ :
| ধাপ | যথার্থতা |
|---|---|
(১) অঙ্কিত বড় ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র। এর ক্ষেত্রফল (a + b)2 (২) ছোট চতুৰ্ভুজ ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র। এর ক্ষেত্রফল c2 (৩) অঙ্কনানুসারে, বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল চারটি ত্রিভুজক্ষেত্র ও ছোট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ, বা, a2 + 2ab + b2 = 2ab+c2 ∴ c2 = a2 + b2 (প্রমাণিত) | [বাহুগুলোর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a+b এবং কোণগুলো সমকোণ]
[বাহুগুলোর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য c]
|
| কাজ : ১। (a–b)2 এর বিস্তৃতির সাহায্যে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি প্রমাণ কর। |
আরও দেখুন...
Promotion
Download Our Mobile Apps
